点集拓扑(1):基本概念
聚点集称为导集，孤立点定义为不属于导集的点。稠密度定义为稠密子集的最小基数。若拓扑空间为可分空间，则其稠密度至少为1。闭集的可数并称为Borel集，而开集的可数交称为Borel集。闭集与开集的Borel集称为Borel集。连续映射定义为使开集原像仍为开集的映射。
拓扑基是拓扑空间的一组开集，它们的并集是全集，且任意两个元素的交集可以表示为基中某些元素的并集。局部基是对于拓扑空间中的每一个点x，都存在一个包含x的开集族，这个族满足特定的条件（如它是x的所有邻域的集合的一个子集，且对于任意两个元素，都存在一个第三个元素同时包含它们）。
实数集上的典型拓扑，通过开放区间来定义。其他概念：邻域、内点、内部、聚点、导集、边界和闭包等，都是基于拓扑空间中的子集关系来定义的概念。稠密子集和可分性是拓扑空间的性质，如可数拓扑空间是可分的。子空间和商空间：子空间：拓扑空间的子集可以定义为子空间，子空间拓扑是原拓扑在子集上的限制。
首先，定义拓扑的基本概念：拓扑是由集合及其开集组成的系统，满足存在公理、并集公理和交集公理。开集的补集称为闭集。接下来，定义网与极限：在指标集上定义偏序关系，满足特定公理，网即为一组满足偏序关系的集合。极限定义了网收敛至某元素的概念。
出发点：从度量空间的邻域和开集性质抽象出拓扑空间的连续性定义在度量空间中，连续性可通过邻域或开集的原像来刻画。推广到拓扑空间时，由于拓扑空间仅依赖开集定义拓扑结构，无需距离概念，因此需将度量空间中基于距离的邻域和开集性质，抽象为拓扑空间中基于开集的原像性质。
这进一步强调了黎曼积分和勒贝格积分之间的差异和联系。综上所述，数分拾遗中的点集拓扑篇（Day1）主要讨论了Fourier级数的收敛性问题、闭区域与连通闭集的关系以及黎曼可积的充要条件与Lebesgue零测集等概念。这些概念在数学分析中具有重要的地位和作用，有助于我们更深入地理解数学分析的基本理论和方法。
怎么判断混合比浓和稀?
判断混合比稀浓可以通过观察火花塞颜色，正常颜色应为砖红色，若颜色偏白，可能混合气过稀；颜色偏黑，则可能混合气过浓。还可以听发动机声音，混合气过稀时，发动机可能会出现转速不稳、易熄火等情况，且声音可能比较尖锐；混合气过浓时，发动机可能动力不足，有放炮声，尾气味道也比较重。
调整方法： 顺时针拧动混合比螺丝：会导致混合气变稀。 逆时针拧动混合比螺丝：会使混合气变浓。浓稀判断： 火花塞发黑：说明混合气过浓，需要调整螺丝使其变稀。 火花塞呈现白色：表明混合气过稀，应调整螺丝使其变浓。 火花塞呈现砖红色：说明混合气配比恰到好处，无需调整。
通过比色法 比色法是利用物质溶液的颜色深浅来判断其浓度和稠度的方法。一般来说，浓度越高，颜色越深，稠度也越大。可以用比色皿将混合液体和纯净溶剂分别倒入，比较它们的颜色深浅。如果混合液体的颜色比纯净溶剂的颜色深，说明混合液体比较浓稠，反之则说明混合液体比较稀。
踏板摩托车混合比螺丝扭紧是变稀。 混合比螺丝的作用是调节进入发动机的燃油和空气的混合比例。当顺时针拧进混合比螺丝时，相当于减少了燃油的供给量，混合气体变稀。这是因为螺丝的拧动改变了化油器内燃油通道的开度等，使得进入的燃油量相对减少，与空气混合后就变得更稀。
当混合气中汽车燃油混合气浓度远低于定值时，说明汽车混合气过稀，当汽车燃油混合气浓度远高于定值时，说明汽车混合气过浓。通常汽车的混合气太稀太稠，汽车都会出现一些问题。
关于稠密集
实例解析：Q在R中稠密：有理数集Q在实数集R中稠密。这是因为R中的任意点要么是Q中的有理数，要么是Q中有理数序列的极限（即无理数）。因此，Q的闭包包含了R，满足稠密集的定义。度量空间在其自身中稠密：对于任意度量空间X，X在其自身中自然是稠密的。因为X中的每一个点都属于X，所以X的闭包就是X本身，自然包含了X中的所有点。
总结来说，稠密集的概念是关于点集之间的紧密关系，它体现在一个点集的点可以无限接近另一个点集的任何点。无论是直观的墨点例子，还是数学的严谨定义，稠密集都为我们揭示了空间结构中的重要性质。
稠密集的定义和概念需要结合具体的距离空间来理解，其中闭包的概念和开球的半径由距离定义决定。理解稠密集的目的在于构建数学中的抽象概念，通过实例加深理解，并在后续的学习中能够灵活应用这一概念。关于稠密集的更深入应用和实例，继续深入学习将有助于完善对这一概念的理解。
稠密性是一个相对的概念，需要明确在哪个集合中讨论。例如，有理数集在实数集中稠密，但在整数集或无理数集中则不一定稠密。讨论稠密集时，需要有明确的距离定义。不同的距离定义下，集合的稠密性可能不同。稠密集的概念可以推广到更一般的集合上，不仅限于数集。
完全有界集要求集合能被有限个以任意小正数为半径的开球族覆盖。性质：完全有界集不一定有界，但一定是可析的（即存在可数稠密子集）。在完备空间中，完全有界集一定是致密集。 稠密集定义：R是度量空间，A及E是R中的点集，如果E中任何一点x的任何环境中都含有集A中的点，就称A在E中稠密。